III. Mecánica de Newton

1. Métodos matemáticos

1. Comprueba la homogeneidad de las expresiones siguientes:

\[\lambda f=v \tag{1}\]

\[\frac{1}{2} m v^2 = G \frac{Mm}{r} \text{, donde } G=6{,}67 \cdot 10^{-11} \: \mathrm{N \, m^2 \, Kg^{-2}} \tag{2}\]

\[K q^2 m R = \frac{h^2}{4 \pi^2} \text{, donde } \left\lbrace \begin{equation}\begin{aligned} &K=9 \cdot 10^9 \: \mathrm{N \, m^2 \, C^{-2}}\\ &h=6{,}63 \cdot 10^{-34} \: \mathrm{J \, s} \end{aligned}\end{equation} \right. \tag{3}\]

\[x'= \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} (x - vt) \text{, donde } c=3 \cdot 10^8 \: \mathrm{m \, s^{-1}} \tag{4}\]

2. Determina el ángulo formado por los vectores \(\vec{v}= 2 \vec{i} + 3 \vec{j} \) y \(\vec{w}= - \vec{i} + 7 \vec{j} \).

3. Comprueba:

a) Un vector perpendicular a \((a,b)\) es el vector \((-b,a)\).

b) \(\text{|} \lambda \vec{v} \text{|} = \text{|} \lambda \text{||} \vec{v} \text{|} \), donde \(\lambda\) es un número real.

c) El vector normalizado de \(\vec{v}\), \(\vec{u}_{v}\), tiene la misma dirección y sentido que \(\vec{v}\).

d) Si \(\vec{u}_{v}\) es un vector unitario, entonces el módulo del vector \((\lambda \vec{u}_v)\) es igual a \(|\lambda|\).

4. Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos \((1,1)\) y \((2,2)\).

5. Comprueba:

\[x(t) = 2t \Rightarrow \dfrac{dx}{dt} = 2 \tag{5}\]

\[x(t) = 2t + 4 \Rightarrow \dfrac{dx}{dt} = 2 \tag{6}\]

\[x(t) = 2t^3 \Rightarrow \dfrac{dx}{dt} = 6 t^2 \tag{7}\]

\[x(t) = 2t^3 + 3 t^2 + 8t +30 \Rightarrow \dfrac{dx}{dt} = 6 t^2 + 6 t + 8 \tag{8}\]

\[x(t) = 2 (t+3) \Rightarrow \dfrac{dx}{dt} = 2 \tag{9}\]

\[x(t) = 2 (t+3)^2 \Rightarrow \dfrac{dx}{dt} = 4 (t+3) \tag{10}\]

\[x(t) = 2 (4t^5+1)^3 \Rightarrow \dfrac{dx}{dt} = 120 t^4 (4t^5+1)^2 \tag{11}\]

\[x(t) = \mathrm{sen}\,2t \Rightarrow \dfrac{dx}{dt} = 2 \cos 2t \tag{12}\]

\[x(t) = \mathrm{sen}\,2t^2 \Rightarrow \dfrac{dx}{dt} = 4 t \cos 2t^2 \tag{13}\]

\[x(t) =\cos(2\pi t + 3 \pi) \Rightarrow \dfrac{dx}{dt} = -2\pi \, \mathrm{sen}\, (2\pi t + 3 \pi) \tag{14}\]

\[x(t) =\cos(2\pi t^2 + 3 \pi) \Rightarrow \dfrac{dx}{dt} = -4\pi t\, \mathrm{sen}\, (2\pi t^2 + 3 \pi) \tag{15}\]

\[x(t) = e^{2 t + 1} \Rightarrow \dfrac{dx}{dt} = 2 e^{2 t + 1} \tag{16}\]

6. Comprueba:

\[\vec{r}(t)=2t\vec{i}+4\vec{j} \Rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt} = 2 \vec{i} \Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = 0 \tag{17}\]

\[\vec{r}(t)=2t^3\vec{i}+4(t+3)\vec{j} \Rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt} = 6 t^2 \vec{i} + 4 \vec j \Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = 12 t \vec i \tag{18}\]

\[\vec{r}(t)=(3 + 2t)\vec{i}+(3-2t+5t^2)\vec{j} \Rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt} = 2 \vec{i} + (-2 + 10t) \vec j \Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = 10 \vec j \tag{19}\]

\[\vec{r}(t)=\cos t \vec{i}+ \mathrm{sen}\, t \vec{j} \Rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt} = -\, \mathrm{sen}\,t \vec{i} + \cos t \vec j \Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = -\cos t \vec i -\, \mathrm{sen}\, t \vec j \tag{20}\]

\[\vec{r}(t)=\cos 2\pi t \vec{i}+ \mathrm{sen}\, 2\pi t \vec{j} \Rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt} = - 2\pi \, \mathrm{sen}\, 2\pi t \vec{i} + 2\pi \cos 2\pi t \vec j \Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = -4\pi^2\cos 2\pi t \vec i - 4\pi^2 \, \mathrm{sen}\, 2\pi t \vec j \tag{21}\]

\[\vec{r}(t)=\cos \left(\pi t + \dfrac{\pi}{2}\right) \vec{i}+ \mathrm{sen}\, \left(\pi t + \dfrac{\pi}{2}\right) \vec{j} \Rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt} = - \pi \, \mathrm{sen}\, \left(\pi t + \dfrac{\pi}{2}\right) \vec{i} + \pi \cos \left(\pi t + \dfrac{\pi}{2}\right) \vec j \Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = -\pi^2 \cos \left(\pi t + \dfrac{\pi}{2}\right) \vec i - \pi^2 \, \mathrm{sen}\, \left(\pi t + \dfrac{\pi}{2}\right) \vec j \tag{22}\]

7. Comprueba:

\[\vec{r}(t)=(x_0 + v_{0x} t) \vec{i} + y_0 \vec{j} \Rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt} = v_{0x} \vec{i} \Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = 0 \tag{23}\]

\[\vec{r}(t)=x_0 \vec{i} + \left( y_0 + v_{0y} t + \dfrac{1}{2} a_{0y} t^2 \right) \vec{j} \Rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt} = (v_{0y} + a_{0y} t) \vec{j} \Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = a_{0y} \vec{j} \tag{24}\]

\[\vec{r}(t)=(x_0 + v_{0x} t) \vec{i} + \left( y_0 + v_{0y} t + \dfrac{1}{2} a_{0y} t^2 \right) \vec{j} \Rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt} = v_{x0} \vec i + (v_{0y} + a_{0y} t) \vec{j} \Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = a_{0y} \vec{j} \tag{25}\]

\[\vec{r}(t)=A_0 \cos(\varphi_0+\omega_0 t)\vec{i} \Rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt} = -A_0 \omega_0 \mathrm{sen}(\varphi_0+\omega_0 t)\vec{i}\Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = -A_0 \omega_0^2 \cos (\varphi_0+\omega_0 t)\vec{i} \tag{26}\]

\[\vec{r}(t)=r_0\cos(\varphi_0+\omega_0t)\vec{i}+r_0 \mathrm{sen}(\varphi_0+\omega_0t)\vec{j} \Rightarrow \dfrac{d\vec{r}}{dt} = - r_0 \omega_0 \mathrm{sen}(\varphi_0+\omega_0t)\vec{i}+r_0 \omega_0 \cos(\varphi_0+\omega_0t)\vec{j} \Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = - r_0 \omega_0^2 \cos (\varphi_0+\omega_0t)\vec{i} - r_0 \omega_0^2 \mathrm{sen}(\varphi_0+\omega_0t)\vec{j} \tag{27}\]

8. Calcula la pendiente de la recta tangente a la curva \(y=-4,9x^2+5x+10\) en \(x=1\).

9. Calcula la pendiente de la recta tangente a las curvas siguientes en \(t=1,0 \: \mathrm{s}\):

\[y(t)=10 \, \mathrm{m} + 5 \, \mathrm{\frac{m}{s}} \, t - \frac{1}{2} 9{,}8 \, \mathrm{\frac{m}{s^2}} \, t^2 \tag{28}\]

\[v_y(t)=5 \, \mathrm{\frac{m}{s}} - 9{,}8 \, \mathrm{\frac{m}{s^2}} \, t \tag{29}\]

2. Cinemática

10. La ecuación de posición de cierto móvil es \(\vec{r}(t) = 2 \, \mathrm{m} \, \cos(\pi \, \mathrm{s}^{-1} \, t) \vec{i} + 2 \, \mathrm{m} \, \mathrm{sen}(\pi \, \mathrm{s}^{-1} \, t)\vec{j}\).

a) Representa el vector de posición en los instantes \(t = 0\); 0,5 s; 1,0 s; 1,5 s, y 2,0 s.

b) Escribe las ecuaciones de velocidad y aceleración.

c) Prueba que la trayectoria del móvil es la circunferencia \(x^2+y^2=(2 \, \mathrm{m})^2\).

d) Comprueba que el vector velocidad es perpendicular al vector de posición y tangente, por tanto, a la trayectoria.

e) Comprueba que el vector aceleración es paralelo al vector de posición y normal, por tanto, a la trayectoria.

f) Calcula los módulos de la posición, velocidad y aceleración.

11. Determina las ecuaciones de velocidad y aceleración para los siguientes movimientos, expresados en unidades MKSC. Calcula también el desplazamiento, la velocidad media y la aceleración media en los primeros 10 s.

\[\vec{r}(t)=(2+4t)\vec{i} \tag{30}\]

\[\vec{r}(t)=(2+4t-5t^2)\vec{i} \tag{31}\]

\[\vec{r}(t)=(2+4t-5t^2+3t^3)\vec{i} \tag{32}\]

3. Dinámica

12. Un patinador de 80 Kg le aplica a una patinadora de 60 Kg una fuerza de 25 Kp (kilopondios o kilogramos de fuerza). Determina la aceleración de los dos patinadores.

13. Determina, de acuerdo con la Ley II de Newton, la fuerza que ha de actuar sobre un cuerpo de 2,0 Kg para que su ecuación de posición venga dada, en unidades MKSC, por las funciones siguientes:

\[\vec{r}(t)=(2+4t)\vec{i} \tag{33}\]

\[\vec{r}(t)=(2+4t-5t^2)\vec{i} \tag{34}\]

\[\vec{r}(t)=(2+4t-5t^2+3t^3)\vec{i} \tag{35}\]

\[\vec{r}(t)=2 \cos(\pi t)\vec{i} + 2 \, \mathrm{sen}(\pi t)\vec{j} \tag{36}\]

14. Realiza el ejercicio anterior mediante la definición matemática de fuerza dada a partir del concepto de momento lineal.

15. Se dispara una bala de 50 g en dirección horizontal a 300 m/s, de manera que queda incrustada en un bloque de madera de 1,0 Kg. Determina la velocidad del conjunto bala-caja.

16. Desde cierto sistema de referencia inercial la función \(\vec{r}(t)=2 cos(\pi t)\vec{i} + 2 sen(\pi t)\vec{j}\) (MKSC) es la ecuación de posición una partícula de 2,0 Kg. Desde este sistema de referencia, la ecuación de posición de otro observador es \(\vec{R}(t)=(2+4t)\vec{i}\).

a) ¿Es inercial el segundo observador?

b) Escribe las ecuaciones de movimiento de la partícula desde el segundo sistema de referencia.

c) Para el segundo observador, ¿qué fuerza provoca el movimiento de la partícula?

4. Ecuaciones de movimiento

17. La línea del AVE de Madrid-Barcelona es de 650 Km aproximadamente. El AVE cubre el trayecto en 2 horas y media.

a) Calcula la velocidad media del AVE suponiendo una trayectoria rectilínea.

b) Suponiendo que el AVE tiene un MRU, escribe sus ecuaciones de movimiento.

c) A la misma hora que el AVE sale de Madrid en dirección a Barcelona, otro tren sale de Barcelona por la misma línea, su velocidad es de 144 Km/h. Determina el tiempo que tarda en llegar a Madrid.

d) ¿Cuánto tardan en cruzarse?

e) ¿A qué distancia de Madrid se cruzan?

f) Escribe las ecuaciones de movimiento del AVE para un observador situado en el segundo tren.

g) A qué velocidad se mueve el AVE según este observador.

h) Calcula cuándo se cruzan utilizando este segundo sistema de referencia.

18. Desde una altura de 10 m, se lanza a 5,0 m/s una piedra de 10 Kg y 98 N de peso. Calcula la velocidad al chocar contra el suelo, la altura máxima alcanzada y el alcance de la piedra, despreciando la fricción con el aire, en los casos:

a) La piedra se lanza verticalmente.

b) La piedra se lanza horizontalmente.

c) La piedra se lanza formando un ángulo de 30° con la horizontal.

19. Para el cuerpo de la figura determina:

a) Una expresión vectorial para la fuerza total que actúa sobre él.

b) La aceleración.

c) Ecuaciones de movimiento.

d) Tiempo que tarda en chocar contra la pared.

e) Velocidad al chocar contra la pared.

20. Se deja caer el cuerpo de la figura. Escribe sus ecuaciones de movimiento y la velocidad cuando llega al suelo en los casos siguientes:

a) \(\mu=0{,}000\)

b)\(\mu=0{,}100\)

c) \(\mu=100\)

21. Escribe las ecuaciones de movimiento del sistema en los supuestos a) \(\mu=0{,}000\) y b) \(\mu=0{,}100\).

22. Calcula la velocidad con la que el cuerpo 2 choca contra el suelo en los casos siguientes:

23. Escribe las ecuaciones de movimiento del MCU en coordenadas cartesianas.

24. Un cuerpo de 5,00 Kg sigue un MCU de 2,00 m de radio y velocidad angular igual a \(\pi \, \mathrm{s}^{-1}\).

a) Escribe las ecuaciones de movimiento del cuerpo.

b) ¿A qué velocidad (lineal) se mueve?

c) Determina el módulo de la fuerza que provoca su movimiento.

d) Determina su posición, velocidad y aceleración al cabo de 2 s en coordenadas cartesianas.

e) Representa su posición y el ángulo recorrido en estos 2 s. ¿Qué distancia ha recorrido?

f) Calcula el ángulo recorrido al cabo de 8 s. ¿Cuántas vueltas ha dado?

25. Un cuerpo de 5,00 Kg sigue un MCUA de 2,00 m de radio, velocidad inicial nula y aceleración angular igual a \(\frac{\pi}{4} \, \mathrm{s}^{-2}\).

a) Escribe las ecuaciones de movimiento del cuerpo.

b) Calcula el ángulo recorrido al cabo de 2 s.

c) Representa su posición y el ángulo recorrido en estos 2 s. ¿Qué distancia ha recorrido?

d) ¿Qué fuerza provoca este movimiento?

26. Un móvil de 10,0 Kg se encuentra sujeto a una fuerza centrípeta de 80,0 N. Si describe una trayectoria de 20 m de radio:

a) Determina la velocidad a la que se mueve.

b) Determina el tiempo que tarda en dar una vuelta; es decir, el periodo del movimiento.

27. La Luna tiene una masa de unos 7,349·1022 Kg y describe alrededor de la Tierra una trayectoria prácticamente circular de 384 400 Km de radio. El periodo de revolución es de 27,32 días.

a) Escribe las ecuaciones de movimiento de la Luna.

b) Calcula la fuerza que la Tierra ejerce sobre la Luna.

28. (Ext-10-A3) Una partícula oscila según un movimiento armónico simple, de forma que su posición viene dada por la ecuación \(x = 0{,}5 \cos (12 t + \pi/4)\), en unidades básicas del Sistema Internacional. Se pide calcular:

a) Frecuencia y periodo del movimiento.

b) Posición y velocidad de la partícula en el instante inicial.

29. (Ord.14-A5) Un objeto vibra con movimiento armónico simple. La amplitud es de 8 cm y el periodo es de 10 segundos. Determina la ecuación general de su movimiento sabiendo que en el instante inicial la elongación es –8 cm.

30. (Ext.12-A4) Una masa de 100 g está sujeta al extremo de un muelle y oscila con movimiento armónico simple. El periodo es de 4 segundos y la amplitud del movimiento es 24 cm. Calcula: a) la frecuencia, b) la constante elástica del resorte, c) la máxima velocidad que alcanza, d) la máxima aceleración.

31. (Ord.06-B4) Se dispone de un muelle elástico sujeto por un extremo al techo de una habitación. Si colgamos por el otro extremo un cuerpo de 6 kg de masa, el muelle se alarga 20 cm. Calcula:

a) La constante elástica del muelle.

b) El periodo de las oscilaciones que realizará si se le aparta de su posición de equilibrio y se le deja libremente para que ejecute un movimiento armónico simple.

32. La curva de una autopista tiene un radio de 600 m. Suponiendo que el coeficiente de rozamiento entre el neumático y el asfalto es de 0,75 si está seco y 0,50 si está mojado, calcula la máxima velocidad con la que puede pasarse la curva con seguridad a) en días secos y b) en días lluviosos.

33. Un tren pasa una curva con peralte a 63 Km/h. Si el radio de la curva es de 300 m, calcula el peralte que debe tener la curva.